Елективний курс з математики на тему " Похідна та її застосування "
Даний матеріал розрахований для загальноосвітніх ( універсальних ) класів , класів економічного і соціального профілів.
Пояснювальна записка
Межа , похідна ... Навіщо їх вивчати ? Ймовірно , кожному вчителю хоча б раз ставили це питання учні . Сьогодні головне в освіті - розвиток, формування загальної культури людини , здатного , зокрема , самостійно добувати і переробляти інформацію . Однією з основних цілей математичної освіти має бути виховання вміння математично досліджувати явища реального світу. Значить , потрібно навчити школярів складати математичні моделі реальних ситуацій , а для цього вони повинні володіти математичною мовою , що описує зазначені моделі . Для математичного дослідження явищ реального світу особливо важливі поняття межі і похідної , адже це - основні поняття мови , на якому « говорить природа ». Безумовно , випускник середньої школи повинен мати уявлення про похідної , про її застосування для дослідження реальних процесів .
« Почала математичного аналізу» - єдиний розділ вивчається в школі математики , що не належить до елементарної математики , дає можливість випускникові середньої школи не тільки отримати уявлення про математичному аналізі як про потужний прикладному апараті сучасної математики , а й навчитися свідомо ним користуватися при вирішенні цілого ряду завдань , що не піддаються елементарним методам .
Однією з найважливіших областей додатка поняття похідної є екстремальні завдання. Однак похідна може бути з успіхом використовуватися при вирішенні і доказі різних рівнянь і нерівностей . За допомогою похідної можна проводити також оцінку числа коренів того чи іншого рівняння. Апарат диференціального числення дозволяє вирішувати широкий клас економічних завдань.
Практика останніх років говорить про необхідність ретельного і глибокого вивчення початку математичного аналізу в зв'язку з включенням цього розділу в контрольно- вимірювальні матеріали державної атестації за курс середньої школи. Аналіз освітньої практики з даного напрямку показує , що значна частина учнів відчуває серйозні труднощі з даної теми (аналіз ЄДІ 2007 по Липецької області) . Цьому матеріалу в діючих підручниках приділяється дуже мало уваги. Розміри шкільного підручника , кількість годин, що виділяються на вивчення теми , не дозволяють показати в повному обсязі все різноманіття завдань, що вимагають для свого рішення функціонального походу , навчити учнів глибоко розуміти і використовувати властивості функції , немає часу викласти історію виникнення цього цікавого розділу в шкільному курсі математики . Вивчаючи тему « Похідна та її застосування » , ми підготуємо основу подальшого навчання у вищих навчальних закладах.
Дана тема розрахована на 16 годин. Формою підсумкової звітності учнів є ділова гра. Пропонується для учнів базової школи . Включений в програму матеріал може застосовуватися для різних груп школярів внаслідок своєї практичної спрямованості. Виявлення ступеня досягнення учнями проміжних і підсумкових результатів проводиться завдяки використанню практикумів , самостійних робіт , тестів. Програму курсу можна розширити введенням рівняння похилій асимптоти , рівнянням нормалі , правилом Лопіталя , знаходженням кута між графіками функцій .
Мета даного курсу : ооружіть учнів системою знань щодо застосування похідної і показати широту застосування даної теми .
Завдання курсу : познайомити учнів з новою математичною моделлю - похідної функції ; показати фізичний і геометричний зміст похідної для вирішення фізичних і геометричних завдань ; показати застосування похідної для дослідження функції та побудови її графіка; навчити відшукувати найбільші і найменші значення неперервної функції на проміжку , вирішувати завдання на відшукання найбільших і найменших значень величин; показати застосування похідних при вирішенні рівнянь і нерівностей , доказі нерівностей ; показати кілька прикладів додатки методів математичного аналізу для вирішення широкого класу економічних завдань.
Теоретичний і практичний матеріал , запланований програмою курсу , сприяє формуванню пізнавального інтересу і мотивації до математики, розвитку творчих здібностей учнів , розвиває навички роботи з навчальною та довідковою літературою ; є можливістю додатково підготувати до державної підсумкової атестації за матеріалами і у формі ЄДІ.
Вимоги до результатів засвоєння матеріалу курсу
Учні повинні знати / розуміти значення математичної науки для вирішення завдань, що виникають в теорії та практиці ; широту і в той же час обмеженість застосування математичних методів до аналізу і дослідженню процесів і явищ у природі і суспільстві. вміти обчислити похідні елементарних функцій , застосовуючи правила обчислення похідних , використовуючи довідкові матеріали; досліджувати в найпростіших випадках функції на монотонність , знаходити найбільші і найменші значення функцій , будувати графіки многочленів і найпростіших раціональних функцій з використанням апарату математичного аналізу; вирішувати завдання із застосуванням рівняння дотичної до графіка функції; вирішувати завдання на знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку ; використовувати набуті знання і вміння у практичній діяльності та повсякденному житті для : рішення геометричних , фізичних , економічних та інших прикладних задач , задач на знаходження швидкості і прискорення , в тому числі завдань на найбільше і найменше значення з застосуванням апарату математичного аналізу .
За основне навчальний посібник можна взяти підручник для загальноосвітніх установ з алгебри та початків аналізу для 10-11 класу під редакцією Мордковіча А.Г.
зміст курсу
Тема 1. Введеніе.Целі і завдання курсу . Історична довідка про відкриття похідної , про вчених - математиків , які зробили величезний внесок у становлення і розвиток цього розділу математика . Функції однієї змінної.
Тема 2 .. Поняття про межу функції в точці. Поведінка функції на нескінченності. Асимптоти . Перший чудовий межа. Другий чудовий межа. Порівняння нескінченно малих функцій .
Тема 3. Безперервність функції . Поняття про безперервність функції . Односторонні межі . Поняття про точки розриву та їх класифікація .
Тема 4. Похідна функції . Формули похідних елементарних функцій . Правила диференціювання . Похідна складної функції . Похідна оберненої функції . Друга похідна .
Тема 5. Фізичний і геометричний зміст похідної . Рівняння дотичної до графіка . Самостійна робота № 1 .
Тема 6. Застосування похідної до дослідження функцій і побудови графіків . Монотонність функції , точки екстремуму і екстремуми функції ( локальні екстремуми ) , опуклості функції , точки перегину , поведінки функції на нескінченності. Загальна схема дослідження функції .
Тема 7 Найбільші і найменші значення функції . Глобальний екстремум . Алгоритмічний підхід до знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку . Рішення текстових , фізичних та геометричних завдань , знаходження найбільших і найменших значень . Завдання на оптимізацію.
Тема 8. Використання похідних при вирішенні рівнянь і нерівностей , доказі нерівностей .
Тема 9 . Рішення економічних задач з використанням похідної.
Підсумкове заняття. Ділова гра .
Тематичне планування матеріалу № заняття Тема занять Кількість годин форма занять 1 Введення 1 Лекція з історичною спрямованістю 2-3 Функції однієї змінної 2 Лекція , семінар 4 Безперервність функції . 1 Лекція , семінар 5-6 Похідна функції . 2 Лекція , семінар 7-8 Фізичний і геометричний зміст похідної . 2 Семінар , практикум з вирішення завдань 9-11 Застосування похідної до дослідження функцій і побудови графіків . 3 Семінар , групові практичні заняття 12 Найбільше і найменші значення функції 1 13 Використання похідних при вирішенні рівнянь і нерівностей , доказі нерівностей . 1 Семінар 14-15 Рішення економічних задач з використанням похідної. 2 практикум з вирішення завдань 16 Підсумкове заняття 1 Ділова гра
БЕРЕЗЕНЬ 1 - д/н компакт-диску(1983) 10 - д/н телефону (1876) 22 - д/н процесору Intel Pentium (1993) 26- д/н макровіруса Melissa (1999) 28 - перша в світі угода з продажу комп'ютера. Покупцем машини UNIVAC I стає Бюро Перепису Населення США (1946)
